TNTの座標計算 #2 - 複数の装薬

環境はMinecraft Java Editionです。

結論

$N$ 個の装薬がすべて図1のような位置で爆発したとき、弾頭の速度・位置は以下の式で表されます。

$\\\ \displaystyle v _ {x} = (N V _ x + v _ {0x}) \times 0.98 ^ T \\\ \displaystyle v _ {y} = (N V _ y + v _ {0y} + 1.96) \times 0.98 ^ T - 1.96 \\\ \displaystyle v _ {z} = (N V _ z + v _ {0z}) \times 0.98 ^ T \\\ \displaystyle x = x _ 0 + 50 \times (N V _ x + v _ {0x}) \times (1 - 0.98 ^ T) \\\ \displaystyle y = y _ 0 + 50 \times (N V _ y + v _ {0y} + 1.96) \times (1 - 0.98 ^ T) - 2 T \\\ \displaystyle z = z _ 0 + 50 \times (N V _ z + v _ {0z}) \times (1 - 0.98 ^ T)$

ただし、

$X$ : 装薬と弾頭との距離のx成分
$Y$ : 装薬と弾頭との距離のy成分
$Z$ : 装薬と弾頭との距離のz成分
$\displaystyle R = \sqrt{X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2}$
$\displaystyle V _ {x} = \left(1 - \frac{R}{8}\right) \frac{X}{R}$
$\displaystyle V _ {y} = \left(1 - \frac{R}{8}\right) \frac{Y}{R}$
$\displaystyle V _ {z} = \left(1 - \frac{R}{8}\right) \frac{Z}{R}$
$v _ {0x}$ : 装薬の爆発を受ける前に持っていた速度のx成分
$v _ {0y}$ : 装薬の爆発を受ける前に持っていた速度のy成分
$v _ {0z}$ : 装薬の爆発を受ける前に持っていた速度のz成分
$v _ x$ : 速度のx成分
$v _ y$ : 速度のy成分
$v _ z$ : 速度のz成分
$x _ 0$ : x座標の初期座標 (装薬の爆発を受ける点)
$y _ 0$ : y座標の初期座標 (装薬の爆発を受ける点)
$z _ 0$ : z座標の初期座標 (装薬の爆発を受ける点)
$x$ : x座標
$y$ : y座標
$z$ : z座標
$\displaystyle T = 弾頭着火\rm{gt} - 装薬着火\rm{gt} + 1$

です。

要するに、前回の式の $V _ x$ と $V _ y$ 、 $V _ z$ の前に $N$ がついただけです。

※z座標・速度のz成分は図に描画していません(できません)。

装薬の爆発座標がバラバラな場合

ここではより厳密に、装薬の爆発座標がバラバラな場合を考えます。まず、装薬の個数と位置関係、速度ベクトルを以下のように定義します。

$M$ : 装薬の個数
$X_k$ : ある装薬と弾頭との距離のx成分
$Y_k$ : ある装薬と弾頭との距離のy成分
$Z_k$ : ある装薬と弾頭との距離のz成分
$R_k$ : ある装薬と弾頭との距離
$V_{xk}$ : ある装薬が弾頭に与える速度ベクトルのx成分
$V_{yk}$ : ある装薬が弾頭に与える速度ベクトルのy成分
$V_{zk}$ : ある装薬が弾頭に与える速度ベクトルのz成分
$\displaystyle V _ {xk} = \left(1 - \frac{R_k}{8}\right) \frac{X_k}{R_k}$
$\displaystyle V _ {yk} = \left(1 - \frac{R_k}{8}\right) \frac{Y_k}{R_k}$
$\displaystyle V _ {zk} = \left(1 - \frac{R_k}{8}\right) \frac{Z_k}{R_k}$

ただし、 $R_k \lt 8$ が成り立っているものとします。

その上で、弾頭の速度・位置は以下の式で表されます。

$\\\ \displaystyle v _ {x} = \left(\sum_{k = 1} ^ M V _ {xk} + v _ {0x}\right) \times 0.98 ^ T \\\ \displaystyle v _ {y} = \left(\sum_{k = 1} ^ M V _ {yk} + v _ {0y} + 1.96\right) \times 0.98 ^ T - 1.96 \\\ \displaystyle v _ {z} = \left(\sum_{k = 1} ^ M V _ {zk} + v _ {0z}\right) \times 0.98 ^ T \\\ \displaystyle x = x _ 0 + 50 \times \left(\sum_{k = 1} ^ M V _ {xk} + v _ {0x}\right) \times (1 - 0.98 ^ T) \\\ \displaystyle y = y _ 0 + 50 \times \left(\sum_{k = 1} ^ M V _ {yk} + v _ {0y} + 1.96\right) \times (1 - 0.98 ^ T) - 2 T \\\ \displaystyle z = z _ 0 + 50 \times \left(\sum_{k = 1} ^ M V _ {zk} + v _ {0z}\right) \times (1 - 0.98 ^ T)$